Ответы на устную часть (1.6 МБ) - Спасибо bibika
- Сколько есть вариантов распределения трёх призовых мест, если в соревнованиях
участвуют 7 команд?
A^3_7=\frac{7!}{(7-3)!}=210
- Вы в группе (28 чел.) решили обменяться фотографиями. Сколько всего фотографий будет передано друг другу?
28\cdot27=756
- Сколькими способами можно с помощью букв K,L,M,N обозначить вершины трапеции?
P_4=4\cdot3\cdot2=24
- Бросают две игральные кости. Найти вероятности событий: а) выпали две тройки; б) сумма выпавших очков больше трёх
всего исходов 6\cdot6=36
а) две тройки выпадут в одном случае из 36:
Вероятность P=\frac{1}{36}
б) сумма меньше или равна 3, это 3 варианта (1+1,1+2,2+1)
P=1-\frac{3}{36}=\frac{36}{36}-\frac{3}{36}=\frac{11}{12}
- В урне 6 белых и 15 чёрных шаров. Найти вероятность того, что а) первый наугад взятый шар окажется чёрным; б) два наугад взятых шара окажутся белыми.
15 - черных шаров; 6 - белых шаров. Всего 21
а) \frac{15}{21}
б) \frac{6}{21}\cdot\frac{5}{20}=\frac{30}{420}=\frac{3}{42}=0,071
- Вероятность попадания в корзину у первого баскетболиста 0,8, а у второго – 0,6. Найти вероятность того, что после бросков по одному разу, а) попадёт только один, б) попадёт хотя бы один
Вероятность промаха первого 1-0,8=0,2
Вероятность промаха второго 1-0,6=0,4
Вероятность, что оба промахнутся 0,2\cdot0,4=0,08
а) Вероятность, что попадет только один 0,8\cdot0,4+0,6\cdot0,2=0,32+0,12=0,44
б) Вероятность, что хотя бы один попадёт 1-0,08=0,92
- Вероятность попадания при одном выстреле 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий при трёх выстрелах, найти её числовые характеристики.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,…,n). Вероятности этих значений можно найти по формуле: P_n(m)=C^m_np^mq^{n-m}, где C^m_n - число сочетаний из n по m - C^m_n=\frac{n!}{m!\cdot(n-m)!}
Найдем ряд распределения X.
P_3(0)=(1-p)^n=(1-0.9)^3 = 0.001
P_3(1) = np(1-p)^{n-1}=3(1-0.9)^{3-1}=0.027
P_3(2)=\frac{3!}{2!\cdot(3-2)!}\cdot0,9^2\cdot(1-0,9)^{3-2}=0.243
P_3(3) =p^n=0.9^3=0.729
Математическое ожидание .
M[X] = np = 3x0.9 = 2.7
Дисперсия .
D[X] = npq = 3x0.9x(1-0.9) = 0.27
Проверим найденные числовые характеристики исходя из закона распределения.
| x_i | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| p_i | 0.001 | 0.027 | 0.243 | 0.729 |
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 0\cdot0.001 + 1\cdot0.027 + 2\cdot0.243 + 3\cdot0.729 = 2.7
Дисперсию находим по формуле d = ∑x^2_ip_i - M[x]^2.
Дисперсия D[X] .
D[X] = 0^2\cdot0.001 + 1^2\cdot0.027 + 2^2\cdot0.243 + 3^2\cdot0.729 - 2.7^2 = 0.27
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ(x)={\sqrt{D[x]}={\sqrt{0.27}}}=0.52
- Определить ограниченность и монотонность последовательности
а) a_n=\frac{3n-6}{n},
n\ne0, - ограниченность
n_1=\frac{3\cdot1-6}{1}=-3,
n_2=\frac{3\cdot2-6}{2}=0
n_1<n_2, 1<2,
a(-3)<a(0) \longrightarrow монотонно возрастающая
б) a_n=\frac{n+6}{8n},
n\ne0, - ограниченность
n_1=\frac{1+6}{8\cdot1}=0,875,
n_2=\frac{2+6}{8\cdot2}=0,5,
n_1<n_2, 1<2,
a(0,875)>a(0,5) \longrightarrow монотонно убывающая
в) a_n=\frac{(-1)^n(n+2)}{n^3},
n\ne0, - ограниченность
n_1=\frac{(-1)^1(1+2)}{1^3}=-3,
n_2=\frac{(-1)^2(2+2)}{2^3}=0,5,
n_1<n_2, 1<2,
a(-3)<a(0,5) \longrightarrow монотонно возрастающая
- Вычислить пределы:
а) \lim_{x\to 4}\frac{2x^2-7x-4}{3x^2-13x+4}=\frac{2(x-4)(x+0,5)}{3(x-4)(x-\frac{1}{3})}=\frac{2x+1}{3x-1}=\frac{2\cdot4+1}{3\cdot4-1}=\frac{9}{11}
б) \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+2x-4}{x^2+5x-6}=\frac{1+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{5}{x}-\frac{6}{x^2}}=\frac{1}{1}=1
в) \lim_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x^3-64}=\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x^2+4x+16)}=\frac{x+4}{x^2+4x+16}=\frac{4+4}{4^2+4\cdot4+16}=\frac{8}{48}=\frac{1}{6}
- Найти асимптоты графика функции y=\frac{2x^2-7x-4}{x-3} и сделать его эскиз
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y=kx+b. По определению асимптоты: \lim_{x\to \infty}(kx+b-f(x))
Находим коэффициент k: \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}
\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2x^2-7x-4}{x-3}}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2-7x-4}{x^2-3x}=2
Находим коэффициент b: b=\lim_{x\to \infty}f(x)-kx
b=\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2-7x-4}{x-3}-2x=\lim_{x\to \infty}\frac{-x-4}{x-3}=-1
Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = 2x-1
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x_1 = 3
Находим переделы в точке x=3
\lim_{x\to 3-0}\frac{2x^2-7x-4}{x-3}=\infty
\lim_{x\to 3+0}\frac{2x^2-7x-4}{x-3}=-\infty
x_1 = 3 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
y=\frac{2x^2-7x-4}{x-3}
Найдем наклонную асимптоту при x → -\infty:
\lim_{x\to -\infty}(kx+b-f(x))
Находим коэффициент k:
k=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}
k=\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{2x^2-7x-4}{x-3}}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^2-7x-4}{x^2-3x}=2
Находим коэффициент b:
b=\lim_{x\to -\infty}f(x)-kx
b=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^2-7x-4}{x-3}-2x=\lim_{x\to -\infty}\frac{-x-4}{x-3}=-1
Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = 2x-1
- Найти асимптоты графика функции y=\frac{x}{x^2-16} и сделать его эскиз.
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: \lim_{x\to \infty}(kx+b-f(x))
Находим коэффициент k: k=\lim_{x\to \infty}\frac{x(f)}{x}
\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x}{x^2-16}}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^2-16}=0
Находим коэффициент b: b=\lim_{x\to \infty}f(x)-kx
b=\lim_{x\to \infty}\frac{x}{x^2-16}-0x=0
Получаем уравнение горизонтальной асимптоты:
y=0
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x_1=-4; x_2=4
Находим переделы в точке x=-4
\lim_{x\to -4-0}\frac{x}{x^2-16}=-\infty
\lim_{x\to -4+0}\frac{x}{x^2-16}=\infty
x_1 = -4 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
Находим переделы в точке x=4
\lim_{x\to 4-0}\frac{x}{x^2-16}=-\infty
\lim_{x\to 4+0}\frac{x}{x^2-16}=\infty
x_2 = 4 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
y=\frac{x}{x^2-16}
Найдем наклонную асимптоту при x → -\infty:
\lim_{x\to -\infty}(kx+b-f(x))
Находим коэффициент k:
k=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}
\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{x}{x^2-16}}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^2-16}=0
Находим коэффициент b:
b=\lim_{x\to -\infty}f(x)-kx
b=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{x^2-16}-0x=0
Получаем уравнение горизонтальной асимптоты:
y = 0
-
Исследовать на непрерывность функции
-
Найти производные функций:
а) (2x^5+6x^3-3x+18)'=(-3x)'+(2x^5)'+(6x^3)'+(18)'=
=(-3)+10x^4+18x^2=10x^4+18x^2-3
б) (\frac{x}{7}-2)'=\frac{1}{7}
в) ((3x+1)^5)'=5\cdot(3x+1)^4\cdot(3x+1)'=5\cdot3(3x+1)^4=15·(3x+1)^4
г) (sin3x^2)'=2sin3x\cdot\cos3x^2\cdot3=6sin3x\cdot\cos3x
д) (cos5x\cdot e^{2x})'=(cos5x)'\cdot e^{2x}+cos(5x)\cdot (e^{2x})'=
=(-5sin5x)\cdot e^{2x}+cos(5x)\cdot 2e^{2x}
e) (\frac{2x-1}{x+3})'=\frac{(2x-1)'\cdot (x+3)-(2x-1)\cdot (x+3)'}{(x+3)^2}=\frac{2(x+3)-(2x-1)\cdot 1}{(x+3)^2}=
=\frac{2(x+3)}{(x+3)^2}-\frac{2x-1}{(x+3)^2}=\frac{2}{x+3}-\frac{2x-1}{(x+3)^2}
ж) (ln3x^2)'=(ln(3x^2))'\cdot (3x^2)'=\frac{1}{3x^2}\cdot 6x=\frac{2}{x}
- Найти вторую производную функции v=sin^2\varphi и вычислить v''(\frac{\pi}{6})
V=\sin^2\varphi
V'=2\sin\varphi\cos\varphi
V''=2\cos\varphi\cos\varphi+2\sin\varphi\cdot (-\sin\varphi)=
=2\cos\varphi\cos\varphi-2\sin\varphi\sin\varphi=2\cos^2\varphi-2\sin^2\varphi
V''=(\frac{\pi}{6})=2\cos^2\frac{\pi}{6}-2sin^2\frac{\pi}{6}=2\cdot \frac{3}{4}-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1
- Найти промежутки возрастания и убывания функции: y=\ln{x}+\frac{1}{x}
Точка разрыва функции: x_1 > 0
y'=\frac{x-1}{x^2}
y'=0
\frac{x-1}{x^2}=0 → x=1
\ln{1}+\frac{1}{1}=1 → (1;1)
(0;y) - отсутствует
| x | -\infty<x<1 | 1 | 1<x<\infty |
|---|---|---|---|
| y’ | -; | 0; | +; |
| y | \downarrow; | 1 | \uparrow |
y''=\frac{-x+2}{x^3}
y''=0
-x+2=0 → x=2
lnx+\frac{1}{x}=0 \rightarrow x\approx0,61
ln2+\frac{1}{2}\approx1,2 → (0,61;1,2)
| x | -\infty<x<2 | 2 | 2<x<\infty |
|---|---|---|---|
| y’ | +; | 0; | +; |
| y | вогнутая; | 1,2 | вогнутая |
- Найти точки экстремума, точки перегиба и построить график функции y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1
y'=x^2-4x+3
x^2-4x+3=0 → (x_1=3; x_2=1) → точки экстремума (y_1=2\frac{1}{3}; y_2=1)
| x | -\infty<x<1 | 1 | 1<x<3 | 3 | 3<x<\infty |
|---|---|---|---|---|---|
| y’ | +; | 0; | -; | 0; | +; |
| y | \uparrow; | 2\frac{1}{3}; | \downarrow; | 1; | \uparrow; |
-
Тело движется прямолинейно по закону S(t)=-t^3+3t^2+9t+3 (м). Найти максимальную скорость движения тела
-
Составить уравнения касательной и нормали к кривой y=x^2+3x-10, проведенных в точке с абсциссой x=-2
y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) - уравнение касательной
f(-2)=(-2)^2+3(-2)-10=4+(-6)-10=-12
f'(x)=2x+3
f'(-2)=-4+3=-1
y=-12-(x+2)=-x-14 - касательная
f(x)=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) - уравнение нормали
y=-12+1(x+12)=-12x-144 - нормаль
- Найти интегралы
а) \int5 \,dx=5x+C
б) \int(3x+\frac{1}{x}+\sin{x})\,dx=3\int{x}\,dx+\int{\frac{1}{x}}\,dx+\int{sinx}\,dx=
=\frac{3x^2}{2}+\ln{x}+(-\cos{x})+C=\frac{3x^2}{2}+lnx-\cos{x}+C
в) \int(\frac{2}{\cos^2x}-x^3+4)\,dx=2\int\frac{1}{\cos^2x}\,dx-\int x^3\,dx+\int4\,dx=
=2tgx-\frac{x^4}{4}+4x+C
г) \int{\frac{t^2\,dt}{\sqrt[5]{5-2t^3}}}=-\int{\frac{t^2\,dx}{6t^2\sqrt[5]{x}}}=-\frac{1}{6}\int{\frac{dx}{x^{\frac{1}{5}}}}=-\frac{1}{6}\int{x^{-\frac{1}{5}}}\,dx=
=-\frac{1}{6}\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdot 5}{4}=-\frac{5(5-2t^3)^\frac{4}{5}}{24}+C
5-2t^3=x
\frac{dx}{dt}=-6t^2
dt=-\frac{dx}{6t^2}
д) \int{\frac{\sin{t}\,dt}{(2\cos{t}+3)^2}}=-\int{\frac{\sin{t}\,dx}{2\sin{t}x^3}}=-\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x^3}}=-\frac{1}{2}\frac{x^{-2}}{-2}=\frac{1}{4x^2}=\frac{1}{4(2\cos{t}+3)^2}+C
2\cos{t}+3=x
\frac{dx}{dt}=-2\sin{t}
dt=-\frac{dx}{2\sin{t}}
ж) \int\frac{cosx\,dx}{4+3\sin{x}}=\int{\frac{cos\,dt}{3\cos{x}\cdot t}}=\frac{1}{3}\ln{t}=\frac{1}{3}\ln{(4+3\sin{x})}+C=\frac{\ln{(4+3\sin{x})}}{3}+C
4+3\sin{x}=t
\frac{dt}{dx}=3\cos{x}
dx=\frac{1}{3\cos{x}}
-
Найти площадь фигуры ограниченной линиями: y=x^2-6x+8, x=-2, x=-1, y=0
\int_{-2}^{-1} (x^2-6x+8) \,dx=\int_{-2}^{-1} x^2 \,dx-\int_{-2}^{-1} 6x \,dx+\int_{-2}^{-1} 8 \,dx=
=\frac{x^3}{3}-6\frac{x^2}{2}+8x/_{-2}^{-1}=\frac{(-1)^3}{3}-3(-1)^2+8(-1)-(\frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2+8(-2))=
=-\frac{1}{3}-3-8-(-\frac{8}{3}-12-16)=-\frac{1}{3}-11+\frac{8}{3}+28=
=\frac{7}{3}+17=\frac{7}{3}+\frac{51}{3}=\frac{58}{3}=19\frac{1}{3}
- Найти площадь фигуры ограниченной линиями: y=\sin{x}, x=-\pi, x=\frac{\pi}{2} и y=0
\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}=\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}-\cos{x}/_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}=-\cos{\frac{\pi}{2}}-(-\cos{\pi})=-0-1=-1
- Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и 5x-y=6
5x-y=6
-y=6-5x
y=5x-6
x^2=5x-6
x^2-5x-6=0
x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-4-(-6)}}{2}=\frac{5\pm7}{2}
x_1=6; x_2=-1
\int_{-1}^{6}(x^2-5x-6)\,dx=\int_{-1}^{6} x^2 \,dx-5\int_{-1}^{6}x\,dx-6\int_{-1}^{6}dx=
=\frac{x^3}{3}-5\frac{x^2}{2}-6x/^{6}_{-1}=\frac{6^3}{3}-\frac{5\cdot6^2}{2}-6\cdot6-(\frac{-1}{3}-\frac{5\cdot1}{2}+6)=
=\frac{216}{3}-90-36+\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-6=-60+\frac{2}{6}+\frac{15}{6}=
=-\frac{360}{6}+\frac{17}{6}=-\frac{343}{6}
-
Найти путь, пройденный телом за третью секунду, если скорость его прямолинейного
движения v(t)=3t^2-2t-3
S(t)=V(t)
\int^{3}_{2}(3t^2-2t-3)\,dt=3\int^{3}_{2}t^2\,dt-2\int^{3}_{2}t\,dt-3\int^{3}_{2}\,dt=
=3\frac{t^3}{3}-2\frac{t^2}{2}-3t/^3_2=27-9-9-(8-4-6)=9+2=11